三角函数

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三角函数: 正弦, 餘弦, 正切, 正割(鏈線), 餘割(鏈線), 餘切(鏈線)

三角函数数学里向顶顶常见个一类关于角度函数。三角函数把直角三角形个内角同道伊个两边个比值相关联起来的,阿可以等价个用啦哈单位圆有关个各种线段个长度来落定义。常见三角函数包括正弦函数\sin)、余弦函数\cos)和正切函数\tan或者\operatorname{tg})。在航海学测绘学、工程学等其他学科中,还会用到如余切函数正割函数余割函数另外个三角函数。不一色一样个三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出,叫做三角恒等式

三角函数个历史介绍[编辑]

18世纪开始,随着解析几何等分析学工具的引进,数学家们开始对三角函数进行分析学上的研究。牛顿来伊呃1669年的《分析学》一书中把出了正弦和余弦函数的无穷级数表示。卡琳拿牛顿做出来个结果讲给詹姆斯·格列高里听,伊进一步证明出来的正切等三角函数的无穷级数。莱布尼兹在1673年左右也独立得到了这一结果[1]Template:Rp欧拉的《无穷小量分析引论》(Introductio in Analysin Infinitorum,1748年)对建立三角函数的分析处理做了最主要的贡献,他定义三角函数为无穷级数,啊写出的欧拉公式,还有使用接近摩登个写英文字母sin.cos.tan.(有种您会的写tag.个,啊是对滴啦)、cot.sec.cosec.

几何定义[编辑]

直角三角形中的定义[编辑]

a, b, h為角A的对边、邻边和斜边

直角三角形中仅有锐角(大小在0到90度之间的角)三角函数的定义。给定一个锐角Template:Math,可以做出一个直角三角形,使得其中的一个内角是Template:Math。设这个三角形中,Template:Math的对边、邻边和斜边长度分别是Template:MathTemplate:MathTemplate:Math,那么

Template:Math正弦是对边与斜边的比值:Template:Math = Template:Math
Template:Math餘弦是邻边与斜边的比值:Template:Math = Template:Math
Template:Math正切是对边与邻边的比值:Template:Math = Template:Math
Template:Math余切是邻边与对边的比值:Template:Math = Template:Math
Template:Math正割是斜边与邻边的比值:Template:Math = Template:Math
Template:Math余割是斜边与对边的比值:Template:Math = Template:Math

直角坐标系中的定义[编辑]

Trig functions on descartes.png

Template:Math x, y Template:Math是平面直角坐标系Template:Math中的一个点,Template:Math是横轴正向\vec{Ox}逆时针旋转到\vec{OP}方向所形成的角,r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0Template:Math到原点Template:Math的距离,则Template:Math的六个三角函数定义为:

正弦: \sin \theta = \frac{y}{r}, 正切: \tan \theta = \frac{y}{x}, 正割: \sec \theta = \frac{r}{x},
餘弦: \cos \theta = \frac{x}{r}, 餘切: \cot \theta = \frac{x}{y}, 餘割: \csc \theta = \frac{r}{y}.

箇浪可以对0到360度的角度定义三角函数。要注意的是以上的定义都只在定义式有意义的时候成立。比如说当x=0 的时候,\frac{y}{x}\frac{r}{x}都没有意义,这说明对于90度角和270度角,正切和正割没有定义。同样地,对于0度角和180度角,余切和余割没有定义。

基本性质[编辑]

啦哈直角坐标系平面高头画f(x) = sin(x)和f(x) = cos(x)函数个图。

从几何定义中可以推导出很多三角函数的性质。比如说,正弦函数、正切函数、余切函数和余割函数是奇函数,余弦函数和正割函数是偶函数。正弦和余弦函数的图像形状一样(看正手边个图),可以看作是沿坐标横轴平移得到的两个函数。正弦和余弦函数关于x=\frac{\pi}{4}轴对称。正切函数和余切函数、正割函数和余割函数啊是噶套滴啦。

三角恒等式[编辑]

不同的三角函数之间存在很多对任意的角度取值都成立的等式,被称为三角恒等式。其中最著名的是毕达哥拉斯恒等式,它说明对于任何角,正弦的平方加上余弦的平方总是1。个好从斜边为1个直角三角形用勾股定理得出哉。用符号表示出来个言语,毕达哥拉斯恒等式为:

\sin^2\! x + \cos^2\! x = 1.
    • 莫里斯·克莱因 著,朱学贤,申又枨,叶其孝 译(2002).《古今数学思想》第二册.上海科学技术出版社.ISBN 9787532361731