泰勒级数

拉数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，箇些相加个项由函数拉某一点个导数求得。泰勒级数是以拉1715年发表了泰勒公式个英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）来命名个。

定义

$f(x)$ 是參考點 $x=a$ 个泰勒展開式：

$f(x)={\sum _{n=0}^{\infty }}{f^{(n)}(a) \over n!}(x-a)^{n}=f(a)+f'(a)(x-a)+{f''(a) \over 2!}(x-a)^{2}+{f^{(3)}(a) \over 3!}(x-a)^{3}+...$

$a=0$ 个辰光，也叫麥克勞林級數。

例子

• $e^{x}={\sum _{n=0}^{\infty }}{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+...$
• $\cos(x)={\sum _{n=0}^{\infty }}(-1)^{n}{x^{2n} \over (2n)!}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}+...$
• $\sin(x)={\sum _{n=0}^{\infty }}(-1)^{n}{x^{2n+1} \over (2n+1)!}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}+...$
• $\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}+\cdots \quad \forall x\in (-1,1]$