克罗内克δ函数

数学里向，克罗内克δ函数（貤叫克罗内克函数、克罗内克δ） 是一隻二元函数，是拿德国数学家利奥波德·克罗内克个名字来命名个，一般简写成$\delta _{ij}\,\!$，用个辰光带两隻下标。克罗内克函数个自变量（输入值）一般是两個整数，如果两隻数字相等，则输出值是1，否则是0。

$\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{matrix}}\right.\,\!$ 。

其它写法

对克罗内克δ函数，有其他写法。用艾佛森括号，好写成迭能介：

$\delta _{ij}=[i=j]\,\!$ 。

同时，当一個变量是0个辰光，常常会得省脱伊，记号变成 $\delta _{i}\,\!$ ：

$\delta _{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}i=0\\0,&{\mbox{if }}i\neq 0\end{matrix}}\right.\,\!$ 。

线性代数里向，克罗内克δ函数好看成隻张量，写成$\delta _{j}^{i}\,\!$。

性质

克罗内克函数有筛选性：对任意个 $j\in \mathbb {Z} \,\!$ ：

$\sum _{i=-\infty }^{\infty }\delta _{ij}a_{i}=a_{j}\,\!$ 。

如果拿整数看做隻装备计数测度个测度空间，箇么伊个性质跟狄拉克δ函数个定义是一样个：

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)dx=f(y)\,\!$ 。

实际上，狄拉克δ函数是根据克罗内克函数来个。来勒信号处理里向，两個函数是弗同上下文里向个同一概念。

线性代数里向个应用

线性代数里向，单位矩阵好用克罗内克δ函数写成 $(\delta _{ij})_{i,j=1}^{n}\,\!$ ；看成张量个辰光（克罗内克张量），好写成$\delta _{j}^{i}\,\!$ 。

箇隻(1,1)向量表示:

• 作为线性映射个单位矩阵；
• 迹；
• 内积 $V^{*}\otimes V\to K\,\!$ ；
• 映射 $K\to V^{*}\otimes V\,\!$ ，拿数量乘积表示成外积个形式。

广义克罗内克函数

定义广义克罗内克函数是$n\times n\,\!$矩阵个行列式，用方程式表达是

$\delta _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}^{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}={\begin{bmatrix}\delta _{i_{1}}^{j_{1}}\delta _{i_{2}}^{j_{1}}&\cdots &\delta _{i_{n}}^{j_{1}}\\\delta _{i_{1}}^{j_{2}}\delta _{i_{2}}^{j_{2}}&\cdots &\delta _{i_{n}}^{j_{2}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{i_{1}}^{j_{n}}\delta _{i_{2}}^{j_{n}}&\cdots &\delta _{i_{n}}^{j_{n}}\\\end{bmatrix}}\,\!$ ；

當中，$\delta _{j}^{i}\,\!$ 是個张量函数，定义是$\delta _{j}^{i}\ {\stackrel {def}{=}}\ \delta _{ij}\,\!$ 。

参见

• 狄拉克δ函数
• 同或门