三体问题

初始位置勒拉斜三角形浪个三個顶点，而且初始速度侪是零个三個相同物事个近似轨迹。按照动量守恒定律，质心还是有个。

三体问题（英语：Three-body problem）是天体力学当中个基本力学模型。

内容

伊指个是三个质量、初始位置搭初始速度侪是任意个好看成是质点个天体，勒拉三個物事当中个万有引力个作用下头个运动规律问题。

现在已经晓得，三体问题呒没精确个解，也就是呒没办法预测所有三体问题个数学情景，只有当中某几种特殊情况好研究。

比方讲勒拉太阳系当中，考虑太阳、地球搭月球个运动，伊拉当中通过万有引力相吸引。假使讲箇三颗星球侪看成质点，而且忽略脱其他星球个引力，箇末太阳、地球搭月球个运动也就好看成是三体问题。

数学描述

三体问题好用三隻质量是$m_{i}$个相互作用个物体个矢量位置$\mathbf {r_{i}} =(x_{i},y_{i},z_{i})$个牛顿运动方程来进行数学表示： $${\begin{cases}{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {1} }&=-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {2} }&=-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}}-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {3} }&=-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}}-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}.\end{cases}}$$ 箇当中，$G$是万有引力常数。箇是组9隻二阶微分方程构成个方程组。

箇问题也好用哈密顿形式等价表示，也就是用一组18隻一阶微分方程表示，方程分别对应$\mathbf {r_{i}}$位置、动量$\mathbf {p_{i}}$个一隻分量： $${\frac {d\mathbf {r_{i}} }{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p_{i}} }},\qquad {\frac {d\mathbf {p_{i}} }{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {r_{i}} }},$$ 箇当中，${\mathcal {H}}$是哈密顿量： $${\mathcal {H}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{2}m_{3}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{3}m_{1}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |}}+{\frac {\mathbf {p_{1}} ^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\mathbf {p_{2}} ^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {\mathbf {p_{3}} ^{2}}{2m_{3}}}.$$

限制性三体问题

当所讨论个三隻物事里向﹐两隻个质量邪气大，第三隻个质量几乎弗会得产生任何扰动；或是有一隻物事个质量帮其他两隻个比小到好省略脱个辰光，三体问题好简化成二体问题个变型。箇是限制性三体问题。一般拿小质量叫无限小质量体﹐简称小天体；另外两隻质量大个叫有限质量体。

设$m_{1,2}$是两隻有限质量体个质量，渠个平面坐标分别是$(x_{1},y_{1})$、$(x_{2},y_{2})$，另外设小天体坐标$(x,y)$。所选单位应该要确保两隻有限质量体间个距离、万有引力常数侪是1，箇末数学处理起来会得便当交关。小天体个运动好写成： $${\begin{cases}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {x-x_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {x-x_{2}}{r_{2}^{3}}},\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {y-y_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {y-y_{2}}{r_{2}^{3}}}.\end{cases}}$$ 箇当中，$r_{i}={\sqrt {(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}.$

运动方程通过坐标$x_{i}(t),y_{i}(t)$有得明确个时间相关性，也好转变成旋转参考系来消除箇时间相关性，分析简化。

历史

1887年，为仔庆祝自家个60岁生日，瑞典国王奥斯卡二世花钞票赞助仔一项竞赛，求个是太阳系个稳定性问题个解答，箇是三体问题个一個变种。

法国数学家庞加莱简化仔箇只问题，提出限制性三体问题：也就是加上仔当中两個球体个质量邪氣大，让第三個球体个质量完全弗会得对伊产生啥扰动箇个条件。面对箇只问题，庞加莱用仔伊自家发明个相态图理论，阿末发现仔混沌理论。虽然箇个方法根本呒没畀出一個完整个答案，伊个研究让人有蛮深个印象，让伊勒拉1888年捞着奖金。

庞加莱发现箇只系统个演变经常是混沌个，也就是讲如果初始状态浪有一個小个扰动，比方讲一个物事个初始位置有些小个变化，箇末后些来个状态可能会得有邪氣大个弗同。假使讲箇个小个变化测弗出，箇末我伲就呒没办法估出伊阿末个状态。

当中个一位裁判，数学家卡尔·魏尔施特拉斯表扬伊：“箇个研究弗好真正看作是对箇个要求个问题个完善解答，但是伊个重要性标志天体力学个一个新时代个诞生。”

参见

• 多体问题
• 混沌理论
• 三体（小说）