平均

平均勒笃翻译。欢迎倷积极翻译搭仔修订。

平均是统计学里向个一个指标，也拨叫作平均值。

例如 ：  A, B, C 三人个体重为 55 kg, 60 kg, 80 kg

箇咾合计有 ：  195 kg

三人体重个平均值是 ： 195 kg ÷ 3 = 65 kg

相加、相乘、调和平均

定义

n 個のデータx₁, ...,x_nに対し、x₁, ...,x_nの相加平均（そうかへいきん）、相乗平均（そうじょうへいきん）、调和平均（ちょうわへいきん）を、それぞれ

$\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}$、$\sqrt[n]{x_1\cdots{}x_n}$、$\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\cdots+\frac{1}{x_n}}$

により定义する。

ただし、相乗平均は正值のデータに対してのみ定义される。また调和平均の场合x_i=0 （1≦i≦n）を満たすiが存在する场合には定义されないが、相加平均の场合はデータの值がどんな実数であっても定义される。 相加平均、相乗平均をそれぞれ算术平均（さんじゅつへいきん）、几何平均（きかへいきん）とも言う。 単に平均といったら相加平均を意味することが多い。

恒等式

$\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\cdots+\frac{1}{x_n}}=\left(\frac{x_1{}^{-1}+\cdots+x_n{}^{-1}}{n}\right)^{-1}$

が成立するので、调和平均はx₁, ...,x_nの "逆数の相加平均" の逆数であると解釈できる。

具体例

• 相加平均については省略する。
• 相乗平均

• 78年の経济成长率 20％　79年の経济成长率80％の场合，この2年间の平均成长率は$\sqrt{1.2*1.8}= 1.469693846...$

• 调和平均

• 往は时速60km 复は时速90kmの场合の往复の平均速度は$2*\frac{1}{1/60+1/90}=72$kmである。
• 並列接続された电気抵抗の抵抗值などを考える场合に用いる（直列回路と並列回路）。

关系式

対数を使った关系式

相乗平均の対数は、対数の相加平均に等しい。 すなわち、

$\log \sqrt[n]{x_1\cdots{}x_n} = \frac{\log{}x_1+\cdots+\log{}x_n}{n}$

が成立する。

相加・相乗・调和平均の不等式

n 個のデータが全て正の时、次のような大小关係が成り立つ。

相加平均 ≥ 相乗平均 ≥ 调和平均

$\frac{x_1+\cdots+x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1\cdots{}x_n} \ge \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\cdots\frac{1}{x_n}}$

等号成立条件は、

x₁=…=x_n

である。

右侧の不等式は、「対数を使った关係式」にlogの凸性(ジェンセンの不等式)を適応すれば证明できる。 左侧の不等式は、调和平均が逆数の相加平均の逆数という事実を右侧の不等式に適応すれば证明できる。

右侧の不等式に关しては、数学的帰纳法を使った別证明も知られているが、 この场合$n=2^m$と书ける场合に対してのみまず证明して、それから一般のnに対して证明するというトリッキーな方法を使う。

其他

データ数nが2のときの相加平均、相乗平均、调和平均をそれぞれA、G、Hとすると、

$A = \frac {{x_1} + {x_2}} {2},$、$G = \sqrt {{x_1} \cdot {x_2}}$、$H = \frac {{2} {x_1} {x_2}} {{x_1} + {x_2}}.$

なので、

$G = \sqrt {{A} {H}}$

が成立する。すなわち、もとのデータの相乗平均は相加平均と调和平均の相乗平均に等しくなる。

様々な平均

m乗平均と一般化平均

n 個のデータ$x_1,\ldots,x_n$のm乗平均、一般化平均をそれぞれ、

$\frac{x_1{}^m+\cdots+x_n{}^m}{n}$、$\sqrt[m]{\frac{x_1{}^m+\cdots+x_n{}^m}{n}}$

によって定义する。

一般化平均は、相加・相乗・调和の三つの平均概念を一般化したものになっており、 m = 1 とすれば相加平均、m = −1 で调和平均、m → 0 の极限で相乗平均になる。 一般化平均で特に m = 2 の场合は、二乗平均平方根と呼ばれ、物理学や工学で様々な応用をもつ。

一般化平均は、ベクトル$(x_1,\ldots,x_n)$のm-ノルムを$\sqrt[m]{n}$で割ったものに一致する。

m乗平均・一般化平均の応用として、例えば统计学では分散と标准偏差が それぞれ m = 2 の场合のm乗平均・一般化平均により定义されている。 (ただし、相加平均を引いた后m乗平均・一般化平均を取る)。

一般化平均はさらに一般化が可能で、可逆な关数 f により

$f^{-1}\left({\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right)$

という平均が定义できる。f(x) = x により相加平均が、f(x) = 1/x により调和平均が、f(x) = log(x) により相乗平均がそれぞれ表されている事が分かる。

加重平均

観测される值それぞれに重みがある时には、単に相加平均をとるのでなく重みを考慮した平均をとるのが便利である。各データ x_i に、重み w_i がついているときの加重平均（重み付き平均）は

$\cfrac{w_1x_1+\cdots+w_nx_n}{w_1+\cdots+w_n}$

と定义される。全ての重みが等しければ、これは通常の相加平均である。

连续分布个相加平均

観测されるデータ x_t が区间 [a, b] 上に连続的に分布しているとき、その相加平均は积分

$\frac{1}{b-a} \int_a^b x_t\,dt$

と定义される。これは离散分布の相加平均に対して、無限個の平均を算出する操作を极限により表したものである。

ベクトルの平均

ベクトル$\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n$に対し、 $\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n$の(相加)平均を、

$\frac{\mathbf{x}_1+\cdots+\mathbf{x}_n}{n}$

により定义する。 相加平均と违い、相乗平均や调和平均はベクトルの场合に一般化されない。

ベクトルの数が3の场合、$\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3$の平均は、 $\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3$の作る三角形の重心に一致する。 ベクトルの数が4の场合も同様で、$\mathbf{x}_1,\cdots,\mathbf{x}_4$の平均は、 $\mathbf{x}_1,\cdots,\mathbf{x}_4$の作る四面体の重心に一致する。 この事実は一般にベクトルの数がnの场合も拡张でき、$\mathbf{x}_1,\cdots,\mathbf{x}_n$の平均は、 $\mathbf{x}_1,\cdots,\mathbf{x}_n$の作るn-単体の重心に一致する。

また、后述するように、ベクトルの平均は物理学における质点の重心と关係がある。

m乗平均、一般化平均、および加重平均の概念もベクトルの场合に拡张可能で、それぞれ、

$\frac{||\mathbf{x}_1||^m+\cdots+||\mathbf{x}_n||^m}{n}$、$\sqrt[m]{\frac{||\mathbf{x}_1||^m+\cdots+||\mathbf{x}_n||^m}{n}}$、$\frac{w_1\mathbf{x}_1+\cdots+w_n\mathbf{x}_n}{w_1+\cdots+w_n}$

により定义される。ただしここで$||\cdot||$は、ベクトルのノルム。 m=2の场合、$||\mathbf{x}||^2$は内积$\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\rangle$に一致するので、 m=2の场合のm乗平均や一般化平均が得に重要である。 たとえば物理学では速さの平均值として、m=2の场合の一般化平均を使う事がある。

ベクトルの加重平均の概念には、物理的な解釈を与える事ができる。 质点$P_1,\ldots,P_n$がそれぞれ位置$\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n$にあり、 それぞれの质量が$m_1,\ldots,m_n$であるとき、 $P_1,\ldots,P_n$の重心は、加重平均

$\cfrac{m_1\mathbf{x}_1+\cdots+m_n\mathbf{x}_n}{m_1+\cdots+m_n}$

に一致する。

よって得にベクトルの(相加)平均は、质量1の质点达の重心に一致する。

算术几何平均

$a_0,b_0$を、$a_0>b_0$を満たす2つの非负の実数とする。 $a_1,a_2,\ldots$、$b_1,b_2,\ldots$を

$a_{i+1}=\frac{a_i+b_i}{2}$

$b_{i+1}=\sqrt{a_ib_i}$

により定义する。

このとき、

$\lim_{i\to\infty}a_i=\lim_{i\to\infty}b_i$

を$a_0$と$b_0$の算术几何平均という。

使用平均那亨要注意个事体

调査では、平均は代表值としてしばしば使われる。ただし、それが调査の目的に適切かどうかは検讨を必要とする。

いくつか例を上げる。

仮に、ある游园地に来るグループの人数の平均が3.2人の时には、4人のグループもかなり多いだろう。この场合に観覧车の1部屋の定员を決めるなら、平均值に近い3人にするよりも4人にする方が1グループ単位で乗せられるグループが多くなるため適切であろう。

世帯の貯蓄の事例では、一部の大金持ちの巨大な貯蓄が平均值を引き上げてしまうため、最も多い数の貯蓄额が仮に300万円だとしても平均は700万円くらいになる。从って、一般的な世帯の貯蓄について考察するのが目的ならば中央值や最频值を用いるべきである。

実験や医学では30例に満たない事例の平均から、何らかの结论を出す必要がある场合もある。この场合は、测定誤差が平均にもかなり混ざっており、统计学的な手法で平均值の精度を计算しないと誤った结论を出すおそれがある。

关连项目

• 统计学
  • 中央值