简谐运动

同一简谐运动勒垃实空间帮相空间力学个弗同表现

简谐运动（英语：Simple Harmonic Motion），也叫简谐振动、谐振，是顶基本顶简单个一种机械振动。当某物体进行简谐运动时，物体所受个力搭位移成正比，并且力总是指向平衡位置。具体来讲，就是物事会得循环往复个运动。假使讲用$F$表示物体受到个回復力，用$x$表示物体对平衡位置个位移，根据胡克定律，$F$帮$x$成正比，箇末好写成下头箇隻公式：

$F=-kx$

里向，$k$是回復力帮位移成正比个比例系数，一般性是弹簧个刚度；负号表明回復力个方向永远帮物体位移个方向相反。假使讲呒没摩擦力，箇末伊就好永远箇能循环往复个动，表明伊机械能守恒。

动力学方程

一维个简谐振动

对一维个简谐振动来讲，伊个动力学方程是二阶微分方程，从牛顿第二定律好推导出

$F=ma=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=m{\ddot {x}}$

又因为胡克定律，回復力好写成$F=-kx$

故咾拿後头隻式子厾进去，有得 ${\ddot {x}}+{\frac {k}{m}}x=0$

位移搭辰光个函数图像，是条正弦或余弦曲线

拿方程解出来，有得下头箇隻有正弦函数个结果：

$x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right)$，箇当中

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}},$

$A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},$

$\tan \varphi =\left({\frac {c_{2}}{c_{1}}}\right),$，$c_{1}$，$c_{2}$是初始条件决定个常数。拿平衡位置当原点么，每一项侪有伊自家个物理意义：$A$是振幅，$\omega =2\pi f$是角频率，箇末速度加速度好算出来分别是

$v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi )$

$v_{max}=\omega A$（勒垃平衡位置）

$a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi )$

$a_{max}=\omega ^{2}A$（勒垃位移顶大个地方）

加速度也好用位移写出来，是下头箇隻式子：

$a(x)=-\omega ^{2}x\!$。

因为 $\omega =2\pi f$，

$f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}$，

又因为周期$T={\frac {1}{f}}$，故咾：$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}$，说明简谐振动有等时性，也就是做简谐振动个质点，伊个运动周期跟振幅、相位弗搭界。

能量分析

拿$k/m$厾到$\omega _{2}$里向，箇末整隻系统勒垃任何时间点$t$个动能$K$侪好写成功：

$K(t)={\tfrac {1}{2}}mv^{2}(t)$（动能个定义）；

拿速度方程厾进去，好化简出

$K(t)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t+\varphi )={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t+\varphi )$。

同时，勒垃整隻系统勒垃任何时间点$t$个势能$U$好写成：

$U(t)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}(t)$（弹弓系统势能个定义）；

拿位移方程厾进去，好化简出

$U(t)={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t+\varphi )$。

假使讲呒没能量流失，箇末整隻系统勒垃任何时间点$t$个机械能（动能同位能个总和）$E$是：

$E=K+U$（机械能个定义）$={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t+\varphi )+{\tfrac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t+\varphi )$。

因为无论$\theta$是几何，$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$永远成立，故咾机械能只同振幅、刚度有关系，关系好写成：

$E={\tfrac {1}{2}}kA^{2}$。

简谐运动个叠加

同一直线丄个叠加

5隻方向相同个简谐振动勒垃同一直线丄叠加形成近似锯齿波

对同一直线丄个简谐振动来讲，伊个叠加是邪气便当个，好写成下头个形式：

$x=x_{1}+x_{2}=A_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+A_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2})=A\cos \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}t+{\frac {\phi _{1}+\phi _{2}}{2}}+\psi \right)$

箇当中，振幅$A$是：$A={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{1}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos \left[(\omega _{1}-\omega _{2})t+\phi _{1}-\phi _{2}\right]}}$，相位角$\psi$有得：$\tan \psi ={\frac {A_{1}-A_{2}}{A_{1}+A_{2}}}\tan \left({\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t+{\frac {\phi _{1}-\phi _{2}}{2}}\right)$

假使讲是几隻频率一式一样个简谐振动叠加个说话，ω₁ = ω₂，故咾好简化成下头个式子：

$x=A\cos \left(\omega t+\alpha \right)$

$A={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{1}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\phi _{1}-\phi _{2})}}$

$\psi =\tan ^{-1}\left({\frac {A_{1}\sin \phi _{1}+A_{2}\sin \phi _{2}}{A_{1}\cos \phi _{1}+A_{2}\cos \phi _{2}}}\right)$

垂直方向个叠加

两隻简谐振动垂直方向叠加形成个李萨如图形

箇末两隻简谐振动个位移方程式好分别写成下头箇样子：

$x=A_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})$

$y=A_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2})$

箇能会得出现图里向个李萨如图形。

实用例子

弹簧

拿质量是$M$个物事挂勒刚度k个弹簧个一端，再移动物事，箇末会得进行简谐运动，方程是：

$\omega =2\pi f={\sqrt {\frac {k}{M}}}.\,$

伊个周期是：

$T={\frac {1}{f}}=2\pi {\sqrt {\frac {M}{k}}}$。

总能量是常数，好通过方程$E={\frac {kA^{2}}{2}}$算出来。

匀速圆周运动

匀速圆周运动个一维投影是简谐振动。假使讲物事用$\omega$个角速率沿咾半徑是$R$个圆动，箇末伊勒垃x軸、y軸或任意一條直徑丄个投影侪是简谐振动，振幅是$R$，角速率$\omega$。

单摆

单摆

勒垃偏角弗太大个情况（一般性認為小於5°）下头，单摆个运动好近似看成是简谐运动。假使讲单摆长$\ell$，重力加速度是$g$，箇末周期是：

$T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}$

迭隻公式只有勒垃偏角咾小个辰光纔好用，因为角加速度个表达式是帮位置个正弦成正比而弗是位置：

$\ell mg\sin(\theta )=I\alpha$

箇当中I是转动惯量，有$I=m\ell ^{2}$。当$\theta$邪气小个辰光，$\sin(\theta )\approx \theta$，故咾好简化成後头隻式子：

$\ell mg\theta =I\alpha$

故咾角加速度与$\theta$成正比，满足简谐运动个定义。单摆个回復力是摆球个重力沿咾运动方向个分力。

外部链接

• 弹簧震动Java模拟 档案，存勒互联网档案馆当中。（2020年9月25号）