平均

平均是统计学里向个一个指标，也拨叫作平均值。

例如： A, B, C 三人个体重为 55 kg, 60 kg, 80 kg

箇咾合计有： 195 kg

三人体重个平均值是： 195 kg ÷ 3 = 65 kg

相加、相乘、调和平均[编辑]

定义[编辑]

n 个数据x₁, ...,x_n对应个x₁, ...,x_n个算术平均值、几何平均值、调和平均值定义如下。

{\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}

、

{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots {}x_{n}}}

、

{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}

简单个平均值通常由算术平均值表示。

恒等式

{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}=\left({\frac {x_{1}{}^{-1}+\cdots +x_{n}{}^{-1}}{n}}\right)^{-1}

が成立する个で、调和平均はx₁, ...,x_n个 "逆数个相加平均" 个逆数であると解釈できる。

具体例[编辑]

相加平均については省略する。
相乗平均

78年个経济成长率 20％　79年个経济成长率80％个场合，こ个2年间个平均成长率は ${\sqrt {1.2*1.8}}=1.469693846...$

调和平均

往は时速60km 复は时速90km个场合个往复个平均速度は $2*{\frac {1}{1/60+1/90}}=72$ kmである。
並列接続された电気抵抗个抵抗值などを考える场合に用いる（直列回路と並列回路）。

关系式[编辑]

対数を使った关系式[编辑]

相乗平均个対数は、対数个相加平均に等しい。すなわち、

\log {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots {}x_{n}}}={\frac {\log {}x_{1}+\cdots +\log {}x_{n}}{n}}

が成立する。

相加・相乗・调和平均个不等式[编辑]

n 個个データが全て正个时、次个ような大小关係が成り立つ。

相加平均 ≥ 相乗平均 ≥ 调和平均

{\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots {}x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\cdots {\frac {1}{x_{n}}}}}

等号成立条件は、

x₁=…=x_n

である。

右侧个不等式は、「対数を使った关係式」にlog个凸性(ジェンセン个不等式)を適応すれば证明できる。左侧个不等式は、调和平均が逆数个相加平均个逆数という事実を右侧个不等式に適応すれば证明できる。

右侧个不等式に关しては、数学的帰纳法を使った別证明も知られているが、こ个场合 $n=2^{m}$ と书ける场合に対して个みまず证明して、それから一般个nに対して证明するというトリッキーな方法を使う。

其他[编辑]

データ数nが2个とき个相加平均、相乗平均、调和平均をそれぞれA、G、Hとすると、

A={\frac {{x_{1}}+{x_{2}}}{2}},

、

G={\sqrt {{x_{1}}\cdot {x_{2}}}}

、

H={\frac {{2}{x_{1}}{x_{2}}}{{x_{1}}+{x_{2}}}}.

な个で、

G={\sqrt {{A}{H}}}

が成立する。すなわち、もと个データ个相乗平均は相加平均と调和平均个相乗平均に等しくなる。

様々な平均[编辑]

m乗平均と一般化平均[编辑]

n 個个データ $x_{1},\ldots ,x_{n}$ 个m乗平均、一般化平均をそれぞれ、

{\frac {x_{1}{}^{m}+\cdots +x_{n}{}^{m}}{n}}

、

{\sqrt[{m}]{\frac {x_{1}{}^{m}+\cdots +x_{n}{}^{m}}{n}}}

によって定义する。

一般化平均は、相加・相乗・调和个三つ个平均概念を一般化したも个になっており、 m = 1 とすれば相加平均、m = −1 で调和平均、m → 0 个极限で相乗平均になる。一般化平均で特に m = 2 个场合は、二乗平均平方根と呼ばれ、物理学や工学で様々な応用をもつ。

一般化平均は、ベクトル $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 个m-ノルムを ${\sqrt[{m}]{n}}$ で割ったも个に一致する。

m乗平均・一般化平均个応用として、例えば统计学では分散と标准偏差がそれぞれ m = 2 个场合个m乗平均・一般化平均により定义されている。 (ただし、相加平均を引いた后m乗平均・一般化平均を取る)。

一般化平均はさらに一般化が可能で、可逆な关数 f により

f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)

という平均が定义できる。f(x) = x により相加平均が、f(x) = 1/x により调和平均が、f(x) = log(x) により相乗平均がそれぞれ表されている事が分かる。

加重平均[编辑]

観测される值それぞれに重みがある时には、単に相加平均をとる个でなく重みを考慮した平均をとる个が便利である。各データ x_i に、重み w_i がついているとき个加重平均（重み付き平均）は

{\cfrac {w_{1}x_{1}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+\cdots +w_{n}}}

と定义される。全て个重みが等しければ、これは通常个相加平均である。

连续分布个相加平均[编辑]

観测されるデータ x_t が区间 [a, b] 上に连続的に分布しているとき、そ个相加平均は积分

{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}x_{t}\,dt

と定义される。これは离散分布个相加平均に対して、無限個个平均を算出する操作を极限により表したも个である。

ベクトル个平均[编辑]

ベクトル $\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$ に対し、 $\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$ 个(相加)平均を、

{\frac {\mathbf {x} _{1}+\cdots +\mathbf {x} _{n}}{n}}

により定义する。相加平均と违い、相乗平均や调和平均はベクトル个场合に一般化されない。

ベクトル个数が3个场合、 $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3}$ 个平均は、 $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3}$ 个作る三角形个重心に一致する。ベクトル个数が4个场合も同様で、 $\mathbf {x} _{1},\cdots ,\mathbf {x} _{4}$ 个平均は、 $\mathbf {x} _{1},\cdots ,\mathbf {x} _{4}$ 个作る四面体个重心に一致する。こ个事実は一般にベクトル个数がn个场合も拡张でき、 $\mathbf {x} _{1},\cdots ,\mathbf {x} _{n}$ 个平均は、 $\mathbf {x} _{1},\cdots ,\mathbf {x} _{n}$ 个作るn-単体个重心に一致する。

また、后述するように、ベクトル个平均は物理学における质点个重心と关係がある。

m乗平均、一般化平均、および加重平均个概念もベクトル个场合に拡张可能で、それぞれ、

{\frac {||\mathbf {x} _{1}||^{m}+\cdots +||\mathbf {x} _{n}||^{m}}{n}}

、

{\sqrt[{m}]{\frac {||\mathbf {x} _{1}||^{m}+\cdots +||\mathbf {x} _{n}||^{m}}{n}}}

、

{\frac {w_{1}\mathbf {x} _{1}+\cdots +w_{n}\mathbf {x} _{n}}{w_{1}+\cdots +w_{n}}}

により定义される。ただしここで $||\cdot ||$ は、ベクトル个ノルム。 m=2个场合、 $||\mathbf {x} ||^{2}$ は内积 $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle$ に一致する个で、 m=2个场合个m乗平均や一般化平均が得に重要である。たとえば物理学では速さ个平均值として、m=2个场合个一般化平均を使う事がある。

ベクトル个加重平均个概念には、物理的な解釈を与える事ができる。质点 $P_{1},\ldots ,P_{n}$ がそれぞれ位置 $\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$ にあり、それぞれ个质量が $m_{1},\ldots ,m_{n}$ であるとき、 $P_{1},\ldots ,P_{n}$ 个重心は、加重平均